4. Algèbre topologique
La continuité des opérations algébriques est d'usage courant dans l'analyse classique ; depuis le début du xixe siècle, en liaison avec l'introduction des nouveaux êtres mathématiques considérés plus haut, les mathématiciens allaient rencontrer dans de nombreux problèmes de nature variée des ensembles munis d'une notion de convergence et de lois de composition « continues pour cette notion de convergence ». Ce mariage fréquent de l'algèbre et de la topologie a conduit à étudier axiomatiquement ces situations, introduisant ainsi de nouvelles structures très utiles et très riches, qui jouent un rôle essentiel dans de nombreuses théories mathématiques contemporaines ; à titre d'exemple, on peut signaler les espaces vectoriels topologiques et les groupes topologiques.
• Espaces vectoriels normés et espaces vectoriels topologiques
Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x → ∥x∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de dimension finie :
a) ∥x∥ = 0 si et seulement si x = 0 ;
b) ∥x + y∥≤∥x∥ + ∥y∥, pour x, y quelconques dans E ;
c) ∥a.x∥ = |a| ∥x∥, pour a dans K et x dans E. (|a| est ici la valeur absolue ou le module du nombre réel ou complexe a).
La considération d'espaces « fonctionnels » (c'est-à-dire d'espaces vectoriels dont les éléments sont des fonctions) munis d'une norme convenable est devenue un des outils essentiel de l'analyse contemporaine.
La théorie des espaces vectoriels normés s'est constituée de 1900 à 1930 approximativement et ici encore l'espace de Hilbert a joué un rôle historique considérable. Hilbert, au début du xxe siècle, fut amené à introduire deux notions de convergence différentes sur l'espace des suites (xn) de nombres réels […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 10 pages…
