3. L'algèbre linéaire et les origines de l'algèbre non commutative
• Structures linéaires
L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme actuelle, l'algèbre linéaire est une remarquable synthèse conduisant à un vocabulaire et à des résultats qui s'appliquent presque universellement dans tous les domaines des mathématiques et de la physique contemporaine, tandis que le processus de « linéarisation » apparaît comme essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques pures et appliquées. La notion fondamentale est ici celle d'espace vectoriel ; elle généralise les propriétés de l'ensemble des vecteurs de notre espace à trois dimensions. Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble d'éléments, appelés « vecteurs », muni d'une loi de groupe abélien notée additivement et d'une loi externe qui à tout couple (a, x) d'un élément a du corps K et d'un vecteur x de E fait correspondre un vecteur a.x de E de telle sorte que l'on ait :
Les applications d'un tel espace vectoriel E dans un autre qui respectent la structure d'espace vectoriel, i.e. telles que :
Une algèbre E sur un corps K est un K-espace vectoriel E muni d'un « produit » qui est une loi E × E → E linéaire par rapport à chaque facteur (on dit bilinéaire). Si cette loi est associative, et admet un élément unité, on a une structure d'anneau.
Par exemple, les nombres complexes forment une algèbre sur le corps des nombres réels.
[…]… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 10 pages…
