La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens).
On appelle algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) la donnée d'un ensemble A (non vide) muni de deux lois de composition interne ∨ et ∧, associatives et commutatives, d'une application unaire ¬ et de deux éléments privilégiés 0 et 1, ces données vérifiant les axiomes suivants :
On appelle anneau de Boole la donnée (A ; +, ., 0, 1) d'un anneau commutatif unitaire vérifiant :
Les structures d'algèbre de Boole et d'anneau de Boole sont équivalentes au sens suivant :
— On peut associer à toute algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) l'anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) défini par :
— On peut associer à tout anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) l'algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) définie par :
Les deux correspondances précédentes sont inverses l'une de l'autre, comme on le vérifie facilement, et permettent de rattacher la théorie des algèbres de Boole à la théorie des anneaux. On peut également rattacher la théorie des algèbres de Boole à celle des ensembles ordonnés en observant que l'on peut définir un ordre canonique sur toute algèbre de Boole en posant :
Exemples d'algèbre de Boole.
1. Pour tout ensemble X, l'ensemble P(X) des parties de X devient une algèbre de Boole si on pose :
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