Histoire des mathématiques

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ALEXANDRIE ÉCOLE MATHÉMATIQUE D'

Écrit par :  Jean ITARD

Les débuts des travaux mathématiques des Alexandrins nous sont mal connus. Ils appartiennent à des mathématiciens déjà confirmés, recrutés par les deux premiers Ptolémées dans les divers centres scientifiques grecs. Ils sont donc directement rattachés aux travaux des savants du iv^e siècle avant J.-C., platoniciens, aristotélici ...  Lire la suite

ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xix^e siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante des mathématiciens de « su ...  Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii^e siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d' ...  Lire la suite

APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE (M. Chasles)

Écrit par :  Bernard PIRE

L'apport de Michel Chasles (1793-1880) en géométrie est caractéristique du fécond débat entre les diverses conceptions défendues par les mathématiciens français du xix^e siècle. Dans toutes ses recherches et son enseignement, Chasles a développé la géométrie projective et contribué de façon majeure à son essor et à sa diffusion. ...  Lire la suite

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

Écrit par :  Bernard PIRE

Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 ...  Lire la suite

AXIOMATIQUE

Écrit par :  Georges GLAESER

Dans le chapitre Origines de l'axiomatique mathématiqueL'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d' constituent, à cette époque (iii^e s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer. Ainsi ...  Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xvii^e et xviii^e siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques de ...  Lire la suite

CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

Écrit par :  Bernard PIRE

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude d ...  Lire la suite

DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n'admet aucune solution enti ...  Lire la suite

DE MORGAN MÉDAILLE

Écrit par :  Bernard PIRE

La médaille De Morgan est la principale récompense décernée par la société mathématique de Londres. Elle est nommée en mémoire du professeur Augustus De Morgan (1806-1871), mathématicien britannique qui fut cofondateur et le premier président de cette société savante. Elle est décernée tous les trois ans à un mathématicien qui réside au Royaume-Un ...  Lire la suite

DISSERTATIONS (B. Riemann)

Écrit par :  Bernard PIRE

La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl Friedrich Gauss, Riemann s'inspire de la physique mathématique et de la géo ...  Lire la suite

ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)

Écrit par :  Bernard PIRE

Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) –  Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661) de considérer les cercles, les ellipses ...  Lire la suite

FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE

Écrit par :  Bernard PIRE

Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application de cette méthode à la détermination des tangentes à une courb ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

Écrit par :  Bernard PIRE

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l'analyse mathématique. Dans un court ...  Lire la suite

FONDEMENTS DE LA TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE (H. Poincaré)

Écrit par :  Bernard PIRE

Henri Poincaré (1854-1912) est considéré comme l'inventeur de la topologie algébrique et différentielle. L'Analysis situs, ou géométrie de situation, qu'il développe à partir de 1894, alors qu'il est professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique, concerne les propriétés invariantes d'une figure déformée de façon continue. La théorie ...  Lire la suite

GÉOMÉTRIE

Écrit par :  François RUSSO

La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des Grecs qui parlait du « rectangle » de deu ...  Lire la suite

GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

Écrit par :  Bernard PIRE

Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier, il est impossible de prouver que les axiomes fondant ce syst ...  Lire la suite

GROUPES DE GALOIS

Écrit par :  Bernard PIRE

L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement re ...  Lire la suite

HILBERT PROBLÈMES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

C'est au deuxième Congrès international des mathématiciens réuni à Paris en 1900 que David Hilbert (1862-1943), professeur de mathématiques à l'université de Göttingen, expose « les problèmes des mathématiques ». En faisant la liste de vingt-trois problèmes à résoudre au cours du xx^e siècle, Hilbert affirme son optimisme et sa ...  Lire la suite

INDE (Arts et culture) - Les sciences

Écrit par :  Francis ZIMMERMANN

Dans le chapitre Les mathématiquesAprès avoir fait l'objet de controverses passionnées, l'originalité des mathématiques indiennes et la dette de l'Occident à l'égard de l'Inde ont été reconnues, assez tardivement et seulement depuis les années 1910. Certes, comme on l'a signalé, l'Inde a emprunté à la Grèce presque tout de l'astronomie. Mais nous devons reconnaître que les idées s ...  Lire la suite

INFINI, mathématiques

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Le mot « infini » désigne un concept à entrées multiples. Il s'ouvre d'abord sur l'ontologie et signifie alors, selon la tradition, « l'être tel qu'on n'en saurait concevoir de plus grand » (« ens quo majus concipi non potest »). Ce fut pour une grande part l'effort de la théologie chrétienne de tenter de montrer, à partir d'un certain mo ...  Lire la suite

INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

Écrit par :  Bernard PIRE

C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression analytique composée d'une mani ...  Lire la suite

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

Écrit par :  Georges C. ANAWATI, Roshdi RASHED, Universalis

Dans le chapitre Les mathématiquesParu à Bagdad entre 813 et 830, Kitāb al-jabr wa al-muqābala, d'al-Khwārizmī, est le premier livre où le terme d'algèbre apparaît dans un titre – al-jabr et al-muqābala y désignent à la fois une discipline et deux opérations ; soit, par exemple, x² + c − bx = d, avec c ...  Lire la suite

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

Écrit par :  Bernard PIRE

En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse vert ...  Lire la suite

LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL

Écrit par :  Bernard PIRE

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1676 et démontré le ...  Lire la suite

LES ÉLÉMENTS (Euclide)

Écrit par :  Bernard PIRE

Euclide d'Alexandrie (vers — 325-vers — 265) est peut-être le mathématicien le plus renommé de l'Antiquité ; pourtant, on ne sait presque rien de lui, sinon qu'il enseigna à Alexandrie et écrivit un traité, Les Éléments, qui rassemble en treize volumes tout le savoir mathématique de l'époque. L'ouvrage commence avec des définitions et cin ...  Lire la suite

LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)

Écrit par :  Bernard PIRE

Le mathématicien britannique Georges Boole (1815-1864) est le fondateur de la logique symbolique moderne. Autodidacte sans aucun titre universitaire, il soutient que la logique doit être rattachée aux mathématiques et non à la philosophie. En 1854, il publie l'exposé abouti de ses idées dans un traité dont le titre complet est significatif : U ...  Lire la suite

LIE GROUPES DE

Écrit par :  Bernard PIRE

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les group ...  Lire la suite

LOGIQUE

Écrit par :  Robert BLANCHÉ, Jan SEBESTIK

Dans le chapitre La logique symbolique moderneL'année 1847, où paraît la Mathematical Analysis of Logic de, marque le départ d'une nouvelle forme de logique, une logique qui, à la fois symbolique et mathématique, réalise enfin le double rêve de Leibniz. Se fondant sur certaines analogies entre les opérations fondamentales de la logique et des mathématiques, Boole t ...  Lire la suite

LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Daniel ANDLER, Roger MARTIN

Dans le chapitre La genèse d'une nouvelle branche des mathématiques : quelques repères historiquesDes questions philosophiques dont est historiquement issue la logique mathématique, il n'est pas question de rendre compte ici (voir notamment,,,, hilbert, intuitionnisme, bolzano,  dedekind, frege, russell). Nous nous proposons seulement de poser quelques jalons chronologiques sur un parco ...  Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre La tradition, de Platon à DescartesLa pièce est construite sur une situation triangulaire où deux personnages élaborent les stratégies de nature à s'assurer le contrôle exclusif d'un troisième qui, de son côté, pour préserver son autonomie, essaye tour à tour de contrôler les deux autres. Philosophie, Logique, Mathématique, tels sont ici les noms traditionnels de nos personnages. I ...  Lire la suite

Dans le chapitre La recherche de la rigueurDéjà au siècle de Descartes apparaissent de graves discordances. d'abord. Dans son opuscule De l'esprit géométrique, il a défini, d'une manière informelle, les règles constitutives d'un système déductif. Bien qu'il parle encore le langage cartésien (« ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes »), Pascal n' ...  Lire la suite

NEUF CHAPITRES SUR LES PROCÉDURES MATHÉMATIQUES LES

Écrit par :  Joël BRENIER

Les trois textes mathématiques chinois les plus anciens dont nous ayons connaissance sont le Livre de procédures mathématiques (Suanshushu), le Classique mathématique du Gnomon des Zhou (Zhoubi suanjing) et les Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques (Jiuzhang suanshu). Le premier, obje ...  Lire la suite

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

Écrit par :  Bernard PIRE

Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx^e siècle est un hommage objectif et f ...  Lire la suite

NOMBRES COMPLEXES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre HistoriqueAlors que de nombreux mathématiciens (dont Viète) hésitaient encore à utiliser les nombres négatifs, les algébristes italiens du xvi^e siècle, et ses élèves, s'enhardirent à introduire dans les calculs des symboles purement formels …] ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas éto ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se présente bien différemment. Alors que l'accord qui est à la base d'une langu ...  Lire la suite

NUMÉRIQUE CALCUL

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

Dans l'enseignement des mathématiques en France, le calcul numérique apparaît le plus souvent comme une simple application des théories. Au contraire, l'histoire des mathématiques montre, comme on va le voir, qu'il y a interaction constante entre les progrès du calcul et l'approfondissement des concepts mathématiques. Cependant, l'intérêt pour les ...  Lire la suite

ŒUVRES COMPLÈTES (R. Thom)

Écrit par :  David AUBIN

Le mathématicien et philosophe René Thom est mort en octobre 2002. Jusqu'à présent, il était ardu d'avoir une vision d'ensemble de son œuvre, complexe et controversée, qui touche à divers domaines du savoir. D'autant que cet auteur prolixe paraissait se désintéresser de ses textes une fois qu'il les avait écrits. C'est dire le remarquable travail ...  Lire la suite

RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

Écrit par :  Bernard PIRE

Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu de résultats originaux ; ils sont c ...  Lire la suite

RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls susceptibl ...  Lire la suite

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

Écrit par :  Bernard PIRE

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondat ...  Lire la suite

RUBAN DE MÖBIUS (topologie)

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort, August Ferdinand Möbius (1790-1868) discute les propriétés de surfaces unilatères, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule face et une seule frontière. Il cite en particulier le paradoxal ruban qui porte son nom et qu'il a étudié en 1858 alors qu'il répondait ...  Lire la suite

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

Dans le chapitre Aperçu historiqueQuoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes. Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l ...  Lire la suite

SYLVESTER MÉDAILLE

Écrit par :  Bernard PIRE

Peu après la mort du mathématicien britannique James Joseph Sylvester (1814-1897), un certain nombre de ses amis proposèrent de commémorer son action et ses contributions scientifiques par une distinction qui porterait son nom. Les réponses positives de nombreux mathématiciens de toutes les parties du monde menèrent à la constitution d'un comité i ...  Lire la suite

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

Écrit par :  Bernard PIRE

Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont joué un rôle fondamental dans le développement de l'analyse ...  Lire la suite

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

Écrit par :  Bernard PIRE

Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées intr ...  Lire la suite

THÉORIE DES OBJETS FRACTALS (B. Mandelbrot)

Écrit par :  Bernard PIRE

Benoît Mandelbrot (1924-2010) rassemble dans l'essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas-Watson de la société I.B.M. à Yorktown Heights (États-Unis) sur les objets fractals. Comme il l'indique dans son introduction, il étudie « des objets naturels très diver ...  Lire la suite

TOPOLOGIE

Écrit par :  Claude MORLET

Considérons les trois surfaces représentées sur la figure ci-dessous. L'intuition nous apprend qu'il existe entre les deux premières des propriétés communes que la troisième ne possède pas : on peut déformer continûment les deux premières l'une dans l'autre, mais aucune d'entre elles ne peut être déformée en la troisième. La topologie est ...  Lire la suite

TURING MACHINE DE

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il n'existe pas de solution au célèbre problème de la décis ...  Lire la suite